Odchylenie standardowe

odchylenie, standardowe, obliczanie, przykład, prosty, wnioski, prezentacja, działanie

Odchylenie standardowe jest klasyczną miarą zmienności opisaną po raz pierwszy przez Karla Pearsona w 1894 roku. Miara ta określa średnie odchylenie od średniej arytmetycznej, inaczej mówiąc jak bardzo wartości jakieś zmiennej są rozrzucone wokół średniej. Jak to często bywa prezentowana definicja jest zapewne niezrozumiała dla większości odbiorców, na szczęście od strony praktycznej jest stosunkowo prosta. Warto znać to zagadnienie, gdyż obecnie ma ono fundamentalne znaczenie nie tylko dla statystyki, lecz wielu innych dziedzin nauki.

Pojęcie odchylenia standardowego najłatwiej wytłumaczyć na konkretnym przykładzie liczbowym. Załóżmy, że posiadamy dane od 10 lokatorów z Warszawy i 10 z Krakowa odnośnie kosztach miesięcznego czynszu (w zł).

Warszawa: 700, 700, 800, 900, 1000, 1000, 1100, 1200, 1200, 1400
Kraków: 800, 900, 950, 1000, 1000, 1000, 1050, 1050, 1100, 1150,

Łatwo zauważyć, że stawki odbiegają od rynkowych realiów, pomińmy ten fakt, gdyż jest on nieważny dla dalszych rozważań.

Istotne jest, że w obydwu przypadkach średnia arytmetyczna kosztów wynajmu lokalu wynosi 1000 zł. Dla przypomnienia metoda obliczania średniej arytmetycznej: sumujemy wartości wszystkie danych, a następnie dzielimy przez liczbę parametrów, przykład dla Warszawy

Drobna dygresja

Bystrzejszym spośród nas zapewne zaświtała w głowie pewna myśl „ej coś jest nie tak, ceny w Warszawie podlegają większym wahaniom niż w Krakowie, a mimo to średnia arytmetyczna jest taka sama” – moje gratulacje dla wszystkich, których to zaciekawiło, uczyniliście właśnie pierwszy krok w zrozumieniu procesu manipulacji statystykami. Zostawmy tę drobną dygresję w spokoju i przejdźmy do metody obliczania odchylenia standardowego.

Obliczanie odchylenia standardowego

Odchylenie standardowe z populacji

Gdzie:
σ – odchylenie standardowe
μ – średnia z populacji (wartość oczekiwana)
xi – kolejna obserwacja w populacji
N – liczba obserwacji w populacji

Odchylenie standardowe z próby

Gdzie:
σ – odchylenie standardowe
x¯ – średnia arytmetyczna z próby
x – kolejna obserwacja w próbie
N – liczba obserwacji w próbie

Warto w tym miejscu zaznaczyć, że część powyższych wzoru znajdująca się pod pierwiastek to inną miarę statystyczną zwana wariancję, odchylenia standardowe jest więc pierwiastkiem z wariancji.

Wykorzystujemy drugi wzór, gdyż nie mamy danych z całej populacji (wszystkich najemców lokali), tylko z próby (od kilku lokatorów).

Warszawa:

W przypadku Krakowa pozwolę sobie podać tylko wynik, pozwoli to zainteresowanym przetestować zrozumienie wzoru.

Kraków:

Wnioski z przykładu

W przypadku Krakowa nasze zmienne (koszty wynajmy) są bardziej skupione wokół wartości średniej, dlatego łatwo było by nam wynająć mieszkanie za około tysiąc złotych miesięcznie. Natomiast znalezienie bardzo taniego mieszkania za 600 zł lub drogiego za 1500 zł było by dosyć trudne, praktycznie niemożliwe.

W Warszawy sytuacja jest odwrotna, średnie odchylenie od średniej arytmetycznej jest ponad dwa razy większe niż to w Krakowie. Gdybyśmy posiadali w kieszeni wyłącznie 1000 zł na wynajem mieszkania, znalezienie odpowiedniego lokum w obecnej stolicy zajęło by nam znacznie więcej czasu niż w przypadku dawnej stolicy naszego kraju. Z drugiej strony w Warszawie znacznie łatwiej było by nam znaleźć mieszkanie bardzo tanie lub bardzo drogie.

Rozważmy jeszcze jeden przykład związany z Tarnowem, w którym odchylenie standardowe wynosi 0, a średnia arytmetyczna tak jak w powyższych przykładach wynosi 1000 zł. Taki poziom odchylenia standardowego oznacza, że ceny wynajmu niczym się nie różnią, a wiec wynajem jakiegokolwiek mieszkania w Tarnowie wiązało by się z kosztem 1000 zł miesięcznie.